基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。其表述为:两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。
1. 基本不等式:√(ab)≤(a+b)/2(a≥0,b≥0)变形ab≤((a+b)/2)^2。
2. 基本不等式的应用:和定积最大:当a+b=S时,ab≤S^2/4(a=b取等);积定和最小:当ab=P时,a+b≥2√P(a=b取等);均值不等式:如果a,b都为正数,那么√(( a^2+b^2)/2)≥(a+b)/2≥√ab≥2/(1/a+1/b)(当且仅当a=b时等号成立);(其中√(( a^2+b^2)/2)叫正数a,b的平方平均数也叫正数a,b的加权平均数;(a+b)/2叫正数a,b的算数平均数;√ab正数a,b的几何平均数;2/(1/a+1/b)叫正数a,b的调和平均数)。
3. 延伸与推广设a1,a2,a3,……,an都是正实数,则基本不等式可推广为:(a1a2a3a……an))^(1/n)≤(a1+a2+……+an)÷n(当且仅当a1=a2=……an时取等号)。
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