在一个是数域中如果其中的数做加减乘除(除数不为0)运算,结果还在这个数域中,则说这个数域是封闭的。
现在证明有理数域封闭:
设任意两个有理数a、b,则必然有a=p/q、b=m/n,因为有理数都可以由分数表示:
而a+b=(pn+qm)/(qn)仍是有理数。
a*b=pm/qn仍是有理数。
减法和除法由于是加法和乘法的逆运算,所以显然成立。
故有理数域是封闭的。
假如有理数a(不为0),乘无理数b得有理数c。
那么由于有理数域的封闭性知b=c/a必属于有理数域,矛盾产生,所以不可能得到有理数。
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